영조(1694~1776년)시대 수학문제 수준 역사



주해수용 내편(籌解需用內編)에 나오는 수학문제입니다. 위의 것은 체적을 구하는 문제이고 아래는 '근의 공식'을 이용한 방정식.

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정3각형의 면적이 84척이고 한 편의 길이와 중선의 길이의 합이 26척이면 매변의 길이와 중선의 길이는 각각 얼마인가?

[답] 매 변의 길이 : 14척
중선의 길이 : 12척
[풀이] 면적 84척을 배로 한다. 직사각형의 면적이 된다 또 이 결과로 4 곱하면 672를 얻는다.
[참고] 84×2=168, 168×4=672가 된다.
중선과 한 변의 길이의 합 26척을 제곱하면 676이 되는데 이 수에서 672를 빼면 나머지는 4가 된다. 이 수를 실수로 하고 이것을 개평하면 2척을 얻는다. 이 결과는 면중교(面中較)가 된다. 이것에 중장화(中長和)를 더하여 절반하면 변의 길이가 된다. 이 변의 길이에서 면중교(面中較)를 빼면 중선의 길이가 된다.

[참고] 원문의 ‘……得二尺……中長尺’이라는 것을 쉽게 숫자로 표시하여 보면 (26+2)÷2=14(척)이 된다. 이것이 한 변의 길이이다. 이 수에 면중교(面中較) 2척을 빼면 즉 14-2=12인데 이 수가 곧 중선[中長]의 길이가 된다. 위의 방법을 현대수학으로 풀이하여 보고 위의 방법과 비교하면 꼭 같은 방법으로 즉 1원 2차 방정식의 근의 공식을 이용하여 풀이하고 있음을 이해할 것이다. 지금 정삼각형의 한 변의 길이를 l이라 하고 중선은 그 삼각형의 높이와 일치하므로 중선=높이=h라 하면, 3각형의 면적 S는 다음 식으로 표시되므로 즉,
S=lh/2…………①
이다. 그리고 주어진 문제의 가정에서
l+h=26…………②
와 같은 ②식을 얻는다. ②식에서
h=26-l…………③
식을 얻고 ③식을 ①식에 대입하면
l²-26l+2S=0…………④
와 같은 1원 2차 방정식을 얻는다.



이므로 면적을 배로 한다는 것은⇔2S이며 또 그 결과에 4로 곱한다는 것은⇔4×2S, 그리고 중선과 한 변의 길이의 합을 제곱한다는 것은⇔26²이며 그것을 서로 빼면 나머지가 4라는 사실은⇔26²-4×2S와 같다. 또 그 결과를 개평하면 2가 된다는 사실은⇔


라는 것을 말한다. 또 그 결과와 중선과 한 변의 길이를 합한 26을 더한다는 사실은⇔26+2이며, 또 이것을 절반으로 한다는 사실은



이 꼭 같은 것이다. 이상 실지 계산 방법을 하나하나 대조하여 가면 실제로 근의 공식을 그대로 이용하고 있음을 나타내고 있다.
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다음은 급수문제.

지금 저울이 있어 그 추를 잃어버리고 그 경중을 모를 경우 곧 그 추를 사용해서 이 물건을 저울질할 때 8근 2냥이었다고 한다. 지금 딴 추로서 이 같은 물건을 저울질한즉 6근이었다고 하면 이 방법에 의하여 계산하여 본래의 추 무게를 아는 방법이다.

돈 1문을 매일 1배씩 증가시키면 30일간이면 돈은 얼마나 되는가?
[답] 1,073,741,824문(文)
작전(作錢)하면 1,000이 된다. 737,418냥 2전 4푼
[풀이] 1문을 8로 곱하고 그것을 10번 제곱하면 된다. 8은 이것이 3일의 배수, 1문을 주어 이것을 8로 곱하는 것을 10차(次), 1차는 단 8, 2차는 64, 3차는 512, 4차는 4,096, 5차는 32,768, 6차는 262,144, 7차는 2,097,152이고, 8차는 16,777,216, 9차는 134,217,728, 10차는 구하는 답에 합당하며 이것이 그 한 방법이다
또 1문을 32로 곱하여 곧 5일 배수 그 결과를 3번 제곱하여 얻은 수를 또 제곱한다. 32를 3차 곱하면 곧 15일 분이다. 1문을 두어 32로 이것을 곱한 것을 3차한 후에 제곱한다. 1차는 32이고, 재차(再次)는 1,024, 3차는 32,766 이 수가 득수(得數)인데 이 32,766을 32,766으로 곱하면 답에 합당한 것이고 이것 또한 간단하다. 원문 중에서 ‘……○三十一○再次……’에서 ‘三十二’라고 하여야 할 것 같다.
또 1문을 64로 곱하고 그 결과 5번 제곱하면 된다. 64는 이것이 6일의 배수이다. 위의 3법이 모두 가하다. 1문을 두고 64로 이것을 곱한다. 처음 곱한 결과는 64, 재차 곱하면 4,096, 3차이면 262,144, 4차하면 16,777,216, 5차하면 답에 합당한 것이 된다.

[참고] 이 문제를 현대수학에서는 급수 문제에 해당하며, 급수 중에서 특히 등비급수에 해당하며 그 공비가 2인 등비급수이며, 또 항의 수가 30인 것임을 알 수 있다. 즉 문제의 뜻에 의하여 식을 세워보면 다음과 같다.
으로 해석되어 1문을 8로 곱하여 그 결과를 10번 제곱한다는 뜻이다.
이므로 1문을 32로 곱하여 그 결과를 3번 제곱하고 또 그 얻은 수를 다시 제곱한다는 뜻이다.
이므로 1문을 64로 곱하여 그 결과를 5번 제곱한다는 뜻이다.
이상의 결과에 모두 2를 빼야 구하는 결과를 얻는다. 이 사실을 관찰할 때 우리들은 이미 이 시대에 등비급수의 해법을 이해하고 이용하였음을 상증하고 있다.

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홍대용 (洪大容) 1731~1783년)이 지은 [주해수용]이란 책은 이름만 들었었는데 실제 내용을 보니, 대단하네요.

하긴, 682년 통일신라대 수학책이 이정도니...



덧글

  • Nocchi 2017/11/23 14:59 #

    검은 것은 글자요 흰 것은 종이 같아 보이네요
    수학 책 안 본 게 이십년 ...
  • 역사관심 2017/11/24 07:55 #

    저도 옮길뿐...@.@
  • 炎帝 2017/11/23 18:06 #

    거기다 저 시대엔 아라비아 숫자도 안썼을테니....ㄷㄷㄷ
  • 역사관심 2017/11/24 07:55 #

    어찌보면 요즘보다 머리들이 더 좋으신 분들...ㄷㄷ
  • 고라파덕 2017/11/23 18:45 #

    정말로 신기합니다. 아라비아 숫자도 안 쓰고 어떻게 저렇게 한건지...
  • 역사관심 2017/11/24 07:56 #

    때문에 한계도 있었겠지만 진짜 머리들 좋으신듯...
  • 迪倫 2017/11/25 12:49 #

    조선시대에 산가지와 산판이라는 계산 도구가 있었습니다. 그리고 이 도구를 천원법이라는 원대에 전래된 고차 방정식 해법에 적용하여 조선 초기부터 달력 제작 즉 일월오행성의 움직임 계산에 응용하였습니다 .세종대 달력 칠정산의 경우 3,4차 방정식도 포함되어있었다고 합니다.
    그래서 산가지와 산판이 상당히 고급 산술에까지 광범위하게 사용되어 조선에서는 중국 일본에 비해 주판의 활용이 적었다고 할 정도 입니다.
  • 역사관심 2017/11/27 07:09 #

    호오... 대단하군요 4차방정식이라니...1540년에 서구쪽에선 공식적으로 정리되었다고 하던데. 그보다 훨씬 이전에;; 이런 쪽에 대해서도 역사수업이나 이과과목시 좀 알려주면 좋겠습니다. 조선시대하면 공자왈 맹자왈밖에 없던 시대로 아니;;
  • 迪倫 2017/11/27 08:20 #

    산학이나 주학는 조선 중기 이전에는 유학자에게도 꽤 중요시되는 과목이었지만 후기에는 점차 중인 전문가 위주로 집중되었다고 합니다. 그래도 남병철 형제같은 상당한 수학자들이 유학자 중에 있었습니다.

    다만 근대수학과 계통이 다르게 전개되어 한계가 있었던 것은 사실입니다. 다만 후기 이후의 관상감 수학은 저도 아직 파악 중입니다.
  • 역사관심 2017/11/27 08:53 #

    그렇군요. 잘 모르는 영역인데 한번 알아봐야겠습니다. 적륜님의 글도 언젠가 나오면 기대하겠습니다 ^^
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